Blog Ebook thủy lực - khí nén Bơm piston

Showing posts with label Thuy Tinh Hoc. Show all posts

Áp lực chất lỏng lên thành cong

Trong bài trước mình đã giới thiệu cách xác định áp lực và điểm đặt của lực lên thành phẳng. Tuy nhiên trong thực tế chúng ta gặp không ít các bể chứa, thùng chứa, hoặc nắp đậy hình trụ, hình cầu, … Vậy áp lực chất lỏng tác động lên thành bình chứa dạng cong và điểm đặt của áp lực trong trường hợp này xác định như thế nào? Trong bài này chúng ta sẽ đi trả lời câu hỏi đó.

Về mặt nguyên tắc, để xác định áp lực của chất lỏng lên bề mặt bất kỳ, chúng ta cần tiến hành xác định 3 thành phần lực và 3 thành phần mômen theo các phương Ox, Oy, và Oz. Phổ biến trong thực tế các bình chứa thường có dạng mặt trụ hoặc mặt cầu, là các mặt cong có mặt phẳng đối xứng thẳng đứng. Khi đó vị trí áp lực tổng hợp của chất lỏng tác động lên mặt cong dạng này thường nằm trên mặt phẳng thẳng đứng đối xứng.

Xem xét bề mặt trụ AB vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Xác định áp lực tác dụng lên bền mặt trụ trong 2 trường hợp:

1) chất lỏng nằm ở phía trên mặt trụ (hình a)

2) chất lỏng nằm ở phía dưới mặt trụ (hình b)

Sơ đồ xác định áp lực lên thành cong

Trường hợp 1):

Xét khối chất lỏng giới hạn bởi mặt trụ AB, các mặt phẳng thẳng đứng đi qua đường biên của cung AB, và mặt thoáng khối chất lỏng, khi đó khối chất lỏng là khối ABCD trên hình vẽ. Ta sẽ đi xét điều kiên cân bằng của khối chất lỏng ABCD. Theo Định luật 3 Newtonnếu khối chất lỏng tác dụng lên thành AB một lực F, thì thành AB cũng tác dụng lên khối chất lỏng một lực F theo hướng ngược lại. Trên hình vẽ thể hiện các phản lực của thành AB lên khối chất lỏng trên.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có Oz thẳng đứng, Ox nằm ngang và Oy vuông góc với mặt phẳng hình vẽ.

Các lực tác dụng lên khối chất lỏng ABCD bao gồm: Trọng lượng G, phản lực thành AB, áp lực chất lỏng lên thành phẳng AD và BC, áp lực áp suất p₀ lên thành phẳng DC.

Điều kiện cân bằng theo phương Oz của khối chất lỏng ABCD là:

F_z=p₀S_x+G;

Ở đó p₀– áp suất tại mặt thoáng; S_x – diện tích chiếu lên phương ngang của mặt AB; G – trong lượng khối chất lỏng ABCD; thành phần p₀S_x – là lực tác động lên thành CD của khối chất lỏng.

Điều kiện cân bằng theo phương Ox của khối chất lỏng ABCD:

Ta nhận thấy áp lực lên khối chất lỏng tại 2 mặt EC và AD là bằng nhau về độ lớn và ngược chiều. Do đó áp lực chất lỏng lên khối chất lỏng tại 2 mặt EC và AD triệt tiêu lẫn nhau. Khi đó phương trình cân bằng trên phương Ox là:

F_x=F_BE;

hay F_x = S_zρgh_C+p₀S_z;

ở đó F_BE– áp lực chất lỏng lên thành phẳng BE; S_z– diện tích cung AB chiếu lên phương đứng; h_C– tọa độ tâm khối của thành phẳng giả BE.

Phương Oy là phương tiếp tuyến với mặt AB nên F_y = 0;

Ta xác định được độ lớn và chiều của phản lực F của thành AB lên chất lỏng. Từ đó xác định được áp lực chất lỏng lên thành AB. Độ lớn phản lực F là:

$F = \sqrt {F_z^2 + F_x^2}$

Trường hợp 2):

Xét cân bằng của khối chất lỏng giới hạn bởi mặt trụ AB; mặt phẳng ngang đi qua B và mặt phẳng thẳng đứng (vuông góc với mặt phẳng hình vẽ ) đi qua A, ta được khối chất lỏng ABK như hình vẽ (hình b).

Vẫn chọn hệ trục tọa độ như trường hợp a. Xác định ngay được F_y = 0;

Cân bằng khối chất lỏng ABK theo phương Oxlà:

F_x=F_AK;

hay F_x = S_zρgh_C+p₀S_z;

ở đó F_AK– áp lực chất lỏng lên thành phẳng AK; S_z– diện tích cung AB chiếu lên phương đứng; h_C– tọa độ tâm khối của thành phẳng giả AK, cũng chính tọa độ tâm khối thành phẳng BE.

Cân bằng khối chất lỏng ABK theo phương Ozlà:

F_z=F_BK– G₁;

F_z=p₀S_x+ρgh_BS_x– G₁;

Ở đó: F_BK– áp lực chất lỏng lên thành phẳng BK; F_BK= p₀S_x+ρgh_BS_x; G₁ – trọng lượng khối chất lỏng ABK.

Nếu đặt G₀ – trọng lượng khối chất lỏng hình hộp chữ nhật BKDC, thì G₀=ρgh_BS_xvà G – trọng lượng khối chất lỏng ABCD.

Ta có G = G₀ – G₁ = ρgh_BS_x– G₁.

Khi đó F_z=p₀S_x+G.

Ta thấy biểu thức F_x, F_y, F_z trong cả 2 trường hợp 1, 2 là như nhau.

Xác định điểm đặt của áp lực tổng hợp lên thành cong dạng trụ hoặc cầu:

Để xác định điểm đặt của áp lực tổng hợp lên mặt trụ hoặc mặt cầu là các mặt phẳng có mặt phẳng đối xứng thẳng đứng. Do tính chất đối xứng trước hết ta có thể xác định là lực tổng hợp sẽ nằm trong mặt phẳng đối xứng này.

Để xác định điểm đặt cụ thể ta lại có nhận xét tiếp: Tại mỗi tiết diện nhỏ dS trên mặt cong thì áp lực dF đều có hướng vuông góc với dS. Với tính chất của mặt trụ và mặt cầu dF vuông góc với dS suy ra, phương của dF sẽ đi qua tâm mặt cầu, hoặc đi qua tâm cung tròn của tiết diện mặt trụ nằm trên mặt phẳng đối xứng.

Lại biết các giá trị F_x và F_z, ta dễ dàng xác định góc lệch α của lực tổng hợp F so với phương đứng qua biểu thức tgα=F_x/F_z. Khi đó từ tâm mặt cầu hoặc tâm mặt trụ kẻ đường thẳng lệch góc α so với phương đứng. Điểm giao giữa đường thẳng này và mặt cong đang xét chính là điểm đặt của áp lực tổng hợp (hay còn gọi là tâm áp lực).

Áp lực chất lỏng lên thành phẳng

Trong xây dựng thủy lợi, xây dựng đê đập kênh mương, hoặc khi xây dựng các bể chứa luôn cần tính toán áp lực tác dụng của chất lỏng lên thành chứa. Trong bài này mình sẽ trình bày và phân tích cách xây dựng công thức tính toán áp lực lên thành phẳng trong Thủy tĩnh học.Đây cũng chính là cơ sở để giải các bài tập thủy tĩnh học cơ bản.

Trong bài này có sử dụng kiến thức về mômen tĩnh và mômen quán tính của tiết diện ngang. Bạn nào cần tìm hiểu có thể tải file này về tìm hiểu:

Đặc trưng hình học(RAR)
Download Bài viết (PDF)

Bây giờ chúng ta đi nghiên cứu bài toàn này.

I. Bài toán

Sử dụng phương trình cơ bản thủy tĩnh học để xác định áp lực tổng hợp của chất lỏng lên thành phẳng, nằm nghiêng với phương ngang 1 góc α (hình vẽ). Chúng ta cần tính áp lực F tác dụng từ hướng chất lỏng lên 1 phần của thành phẳng, được giởi hạn bởi chu tuyến (đường cong kín) có diện tích bằng S.

Hinh 1. Sơ đồ tính áp lực lên thành phẳng

Trục Oxhướng theo đường giao tuyến giữa thành phẳng với mặt thoáng của chất lỏng, trục Oy vuông góc với trục Ox và nằm trong mặt phẳng của thành phẳng.

Trước hết cần xác định thành phần áp lực tác dụng lên phần diện tích vô cùng nhỏ dS:

dF=pdS=(p_o+ρgh)dS= p_odS+ρghdS ;

Ở đó: p_o– áp suất tại mặt thoáng chấ lỏng; h– độ sâu từ mặt thoáng tới phần diện tích dS.

Để xác định áp lực toàn phần ta cần lấy tích phân dF theo toàn bộ diện tích S.

Ta có:
$F = {p_o}\int\limits_S^{} {dS} + \rho g\int\limits_S^{} {hdS} = {p_o}S + \rho g\sin \alpha \int\limits_S^{} {ydS}$

Ở đó y – tọa độ diện tích dS.

Tích phân cuối là momen tĩnh của diện tích S đối với trục Ox và bằng diện tích của nó nhân với tọa độ tâm khối.
$\int\limits_S^{} {ydS} = {y_C} \cdot S$

Suy ra ta có:

F = p_oS + ρgh_CS ; (1.1)

Với công thức (1.1) này ta có thể nghiệm chứng lại định luật Pascal « Chất lỏng truyền áp suất nguyên vẹn theo mọi hướng » . Ở đây ta thấy môi trường chất lỏng đã truyền áp suất p₀ trên bề mặt thoáng chất lỏng nguyên vẹn tới mọi điểm trên mặt phẳng S. Nếu p₀ thay đổi 1 lượng ∆p thì tương ứng tại mỗi điểm trên mặt S áp suất cũng thay đổi một lượng ∆p. ( Đây chính là ý nghĩa của định luật Pascal)

Ở đó h_C – độ sâu của tâm khối của diện tích S, h_C = y_C∙sinα;

Hay F=(p_o+ ρgh_C)S=p_CS (1.2)

Phát biểu cho công thức (1.2): Áp lực toàn phần của chất lỏng lên thành phẳng bằng tích diện tích thành phẳng nhân với áp suất thủy tĩnh tại tâm khối của thành phẳng đó.

Nhận xét

1. Theo công thức (1.1) ta có thể coi thành phần ρgh_CS là áp lực sinh ra bởi chính chất lỏng, còn thành phần p_oS là áp lực sinh không phải bởi chất lỏng. Trong trường hợp tổng quát áp lực tổng hợp thành phẳng phải chịu chính là tổng hợp 2 thành phần lực: thành phần lực sinh ra bởi chất lỏng F_cl và thành phần lực sinh ra không phải do chất lỏng F_n. Với F_n ta hiểu nó không phải sinh ra do mỗi áp suất p₀như trường hợp trên, mà còn phải kể tới do các ngoại lực khác, từ các hướng khác nhau nữa. Riêng thành phần F_cl= ρgh_C về mặt độ lớn F_cltương đương với trọng lượng P_clcủa khối chất lỏng giới hạn bởi một trụ đứng chiều cao h_C, diện tích 2 mặt đáy là S. ( Lưu ý: nói trụ đứng ở đây cần hiểu không nhất thiết phải là trụ tròn, vì S có thể có hình dạng bất kỳ – miễn là bao trong 1 chu tuyến kín)

2.Theo công thức (1.2) ta đưa ra khái niệm áp lực dư F_dư = p_C.dưS.
Trong các trường hợp khi áp suất p_o=p_atm, và cũng tác động lên mặt ngoài của thành phẳng. Lúc này thành phần lực sinh ra do áp suất khi quyển ở 2 mặt trước và sau thành cân bằng, nên có độ lớn bằng 0.

Khi đó áp suất dư tại tâm khối p_C.dư = p_C – p_atm= ρgh_C . Thành phẳng phải chịu tác động áp lực toàn phần tác động lên thành phẳng bằng trọng lượng của khối chất lỏng.

Theo biểu thức p_C.dưS = ρgh_CS hay F_dư = P_cl .

II. Xác định điểm đặt của áp lực toàn phần.

Như vậy ngoại áp lực sinh ra bởi p₀ tại tất cả cả điểm diện tích S là như nhau, do đó lực tổng hợp sinh ra F₀ – sẽ đặt vào trọng tâm của diện tích S. Để xác định điểm đặt sinh ra bởi áp lực F_cl– sinh ra do khối lượng chất lỏng, chúng ta sử dụng lý thuyết cơ học (Cơ lý thuyết). Khi đó mômen tổng hợp lực đối với trục Ox bằng tổng mômen các thành phần lực.
${F_{cl}}{y_D} = \int\limits_S^{} {yd{F_{cl}}}$

y_D– tọa độ điểm đặt trọng lực khối chất lỏng.

${y_D} = \frac{{\rho g\sin \alpha \int\limits_S^{} {{y^2}dS} }}{{\rho g\sin \alpha {y_C}S}}$

Với ${J_x} = \int\limits_S^{} {{y^2}dS}$

Suy ra ${y_D} = \frac{{{J_x}}}{{{y_C}S}}$

J_x= J_x0 + y²_CS;

J_x0– momen quán tính của diện tích S so với trục đi qua trọng tâm C song song với Ox.

y_D= y_C + J_x0/ (y_CS) (1.3)

Như vậy điểm đặt của lực F_cl – ở thấp hơn tâm khối của diện tích thành phẳng và cách 1 khoảng là

∆y=J_x0/(y_CS)

Khi áp suất p₀ = p_atm, và thành ngoài cũng chịu tác động của p_atm, thì điểm D sẽ là điểm đặt tổng hợp lực lên thành (do áp lực sinh ra 2 phía thành khử nhau). Khi p_o ≠ p_atm, điểm đặt của tổng hợp lực: F₀ và F_cl xác định theo qui luật cơ học – cân bằng mômen; Khi đó F₀ càng lớn, điểm đặt của tổng hợp lực càng gần trọng tâm C.

Thiết lập phương trình Euler tĩnh

Trong bài này mình sẽ giấy thiệu về cách xây dựng phương trình vi phân cân bằng của chất lỏng tĩnh, hay còn gọi là phương trình Euler tĩnh. Sau đó từ phương trình vi phân thu được, chúng ta tìm nghiệm của phương trình này bằng phương pháp tích phân trong một số trường hợp đơn giản.

Chúng ta đã biết là trong môi trường chất lỏng tĩnh ( không có sự chuyển động tương đối giữa các lớp chất lỏng). Tác dụng lên chất lỏng chỉ có thành phần lực khối.

Để xây dựng phương trình Euler tĩnh, chúng ta chọn hệ trục tọa độ gắn chặt với bình bể chất lỏng. Trong môi trường chất lỏng tĩnh lấy một điểm M bất kỳ có tọa độ x, y ,z và có áp suất p (Hình 1).

Hình 1

Tách ra một khối chất lỏng có dạng hình hộp chứ nhật, có các cạnh song song với các trục tọa độ, có độ dài tương ứng là dx, dy, dz. Điểm M là một đỉnh của hình hộp chữ nhật. Xét điều kiện cân bằng của khối chất lỏng được tách ra. Giả sử khối chất lỏng chịu sự tác động lực khối tổng hợp từ 3 thành phần theo phương các trục Ox, Oy, Oz. Lực khối đơn vị theo các trục tương ứng là X, Y, Z. Khi đó lực khối thành phần theo từng phương trục tọa độ bằng tích khối lượng của khối chất lỏng nhân với lực khối đơn vị tương ứng.

Áp suất trong lòng khối chất lỏng là một hàm không gian, tức là p=p(x,y,z). Theo tính chất của áp suất thủy tĩnh tại điểm M giá trị áp suất bằng nhau theo mọi phương, giả sử tại M có áp suất là p_M. Khi di chuyển điểm M tới điểm N. Theo phương Ox tọa độ điểm M thay đổi một lượng dx. Kéo theo đó hàm p(x,y,z) biến thiên một lượng bằng vi phần từng phần (∂p/∂x)dx, vì vậy áp suất tại điểm N là p_M+(∂p/∂x)dx.

Ở đó (∂p/∂x) – được gọi là gradient áp suất điểm M theo phương Ox.

Xét các cặp điểm tương ứng trên 2 mặt giới hạn vuông góc với Ox của khối chất lỏng, ví dụ M’ và N’, ta đều thấy rằng giữa các cặp điểm này khác nhau một lượng áp suất.

$p - \left( {p + \frac{{\partial p}}{{\partial x}}dx} \right) = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}dx$

Vậy chênh lệch áp lực giữa 2 mặt giới hạn vuông góc với Ox của khối chất lỏng là tích của lượng chênh áp nhân với diện tích của 1 mặt.

${F_{ca}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}dxdydz$

Tác dụng lên khối chất lỏng theo phương Ox có 2 thành phần lực: lực khối và lực chênh áp giữa 2 mặt giới hạn của khối hình hộp.

Lực khối theo phương Ox là:

F_kx=Xρdxdydz

Xét cân bằng của khối chất lỏng theo phương Ox:

$\begin{array}{l} {F_{kx}} + {F_{ca}} = 0\\ X\rho dxdydz - \frac{{\partial p}}{{\partial x}}dxdydz = 0 \end{array}$

Tương tự trên các phương Oy, và Oz ta có:

$Y\rho dxdydz - \frac{{\partial p}}{{\partial y}}dxdydz = 0$

$Z\rho dxdydz - \frac{{\partial p}}{{\partial z}}dxdydz = 0$

Tương đương với:

$X - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial x}} = 0$

$Y - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial y}} = 0$ (1.1)

$Z - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial z}} = 0$

Hệ 3 phương trình (1.1) là phương trình Euler tĩnh ở dạng vi phần từng phần.

Cộng theo vế 3 phương trình trên ta được:

$Xdx + Ydy + Zdz - \frac{1}{\rho }\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial p}}{{\partial y}}dy + \frac{{\partial p}}{{\partial z}}dz} \right) = 0$

Ta thấy tích phân toàn phần áp suất:

$dp = \left( {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial p}}{{\partial y}}dy + \frac{{\partial p}}{{\partial z}}dz} \right)$

Suy ra ta có:

dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz) (1.2)

Phương trình (1.2) là phương trình Euler tĩnh ở dạng toàn phần.

Xét một số trường hợp đơn giản.

Trường hợp 1 :

Môi trường chất lỏng đứng yên chỉ chịu tác dụng của trọng lực.

Khi đó lực khối đơn vị Z= –g ; Y=X=0.

Ta có phương trình vi phân cân bằng :

dp= –ρgdz

Lấy tích phân ta có

p= –ρgz+C

C – hằng số tích phân

Suy ra : z+p/(ρg)=const
Đây chính là phương tình cơ bản thủy tĩnh học. Mời các bạn đọc thêm bài: Phương trình thủy tĩnh học cơ bản

Trường hợp 2:

Chuyển động quay tròn đều quanh trục đứng của bình chứa chất lỏng.

Bình chứa chất lỏng mở quay đều với vận tốc góc ω quanh trục đứng của bình. Quan sát hiện tượng thấy chất lỏng cũng quay theo bình với cùng vận tốc ω; mặt thoáng của chất lỏng trong bình ở trung tâm hạ thấp xuống và ở mép thì nâng cao lên. Mặt thoáng của chất lỏng trong bình trở thành mặt dạng tròn xoay. Tác dụng lên khối chất lỏng trong trường hợp này có hai lực khối – trọng lực và lực ly tâm, tương ứng với 2 lực khối đơn vị là g và ω²r.

Áp dụng phương trình (1.2) để xác định qui luật thay đổi áp suất trong trường hợp này. Ta có:

Z= –g; X= ω²rcos(r,x) = ω²x; Y= ω²rcos(r,y)=ω²y; với x²+y²=r²

Thế vào phương trình (1.2) ta có :

dp=ρ(ω²xdx+ ω²ydy – gdz)

Lấy tích phân 2 vế thu được :

p= ρ ω²(x²+y²)/2 – ρgz +C

p= ρ ω²r²/2– ρgz +C

C – hằng số tích phân

Khi r=0, z=h, p=p_at ta có : p_at= – ρgh+C

Suy ra C=p_at+ ρgh

Vậy p= ρ ω²r²/2– ρgz+ p_at+ ρgh

p= p_at+ ρ ω²r²/2+ ρg(h – z)

Để xác định phương trình mặt thoảng của chất lỏng trong bình ta có

p= p_at

Suy ra : z=h+ ω²r²/(2g)

Hình 2

Như vậy đường cong AOB có dạng parabol. Mặt thoáng của chất lỏng có dạng parabol tròn xoay. Sử dụng phương trình trên có thể xác định được vị trí mặt thoáng của chất lỏng trong bình, và xác định được chiều cao h của vị trí đỉnh parabol nếu biết vận tốc góc ω. Để làm được điều đó phải sử dụng phương trình bảo toàn thể tích: thể tích khối chất lỏng khi đứng yên bằng thể tích khối chất lỏng khi xoay.